Original subtitles

bonjour à tous aujourd'hui on va parler

des algèbres de Clifford donc c'est en

fait un système de nombres qu'on peut

inventer à partir de de des notions de

géométrie c'est qu'on va on va avoir des

vecteurs à la base mais on va pouvoir

non seulement les additionner mais aussi

les multiplier et donc ça va nous former

un un système de nombres

[Musique]

donc ça s'appelle les algèbres de

Clifford alors vous avez peut-être

rencontré déjà ces algèbres si vous avez

étudié l'équation de Dirac euh les

fameuses matrices gamma bon ben c'est

des c'est des éléments de d'une algèbre

de Clifford et ou les matrices de polily

aussi et aussi siil a c'est devenu à la

mode à la mode c'est revenu sur le

devant de la scène grâce à une approche

très géométrique où cette fois-ci les

les éléments de l'algèbre représente

carrément des plans des droites donc on

manipule des objets géométriques

directement on peut faire des

intersections facilement c'est c'est

sous le nom de géométrique

algbra donc bon c'est des vidéos en

anglais souvent géométrique algébra mais

en fait c'est des algebres de Clifford

euh en général il rajoute une dimension

supplémentaire pour pouvoir euh faire

des translations et du coup on se

retrouve avec une correspondance entre

les nombres de cette algèbre et des

objets géométriques comme des plans des

droites des cercles donc il y a il y a

tout un tas de de recherches à ce

niveau-là donc là on va juste voir déjà

concrètement qu'est-ce que c'est que les

algèbres de

Clifford alors pour euh pour avoir une

algèbre de C forord il va falloir deux

ingrédients donc il va falloir euh déjà

euh un espace

vectoriel

euh voilà espace

vectoriel donc ça ça nous donne

directement l'addition puisque dans un

espace vectoriel en fait on a des

vecteurs qu'on peut additionner et on

peut mettre un un multiple dedans devant

et il faut aussi un un produit scalaire

donc le produit scalaire c'est ce qui

permet de de comparer des vecteurs pour

savoir qui est-ce qu'il se ressemble ou

pas donc si on a un espace vectoriel et

un produit

scalaire on va pouvoir construire une

algèbre de Clifford c'estd il faut

définir n l'addition on va reprendre la

même la même que celle des vecteurs donc

il va falloir définir la multiplication

donc bon les vecteurs espace vectoriel

c'est c'est tout ce qui peut tous les

objets mathématiques qu'on peut

additionner entre eux ou assembler et il

faut pouvoir aussi mettre un facteur

devant un multiple donc ça peut être

n'importe quoi bon à l'école on apprend

surtous les les déplacements géométriqu

c'est qu'on va dire dans le plan de

dimension on va dire on peut se déplacer

selon l'axe des X

ou on peut se déplacer selon la l'axe

des Y donc on va dire qu'il y a un

vecteur un déplacement de base qu'on va

appeler généralement ux avec une flèche

et un déplacement vers le haut

uy voilà et donc ce que ce qu'on apprend

en général à l'école c'est un vecteur

c'est une flèche en fait ça va être

voilà donc ce vecteur V

là

c'est donc on

a le vecteur V on va dire que c'est un

assemblage de donc qui on a on s'est

déplacé deux fois vers la droite

voilà en gros là j'ai mal dessiné donc

ça serait deux

déplacements vers la droite plus plus un

déplacement vers le haut quoi plus 1

uy voilà donc là on a

utilisé en fait ce qu'on assemble c'est

des déplacements donc c'est pour ça on

représente ça comme des flèche mais

après dans les études on verra que tout

ce qui peut s'additionner par des

fonctions on peut additionner des

fonctions on peut agrandir par je peux

prendre FX une fonction je peux

additionner une autre fonction ça va me

donner encore une fonction et je peux

multiplier par 3

celle-ci donc en fait on pourrait voir

l'ensemble des fonction comme des

vecteurs puisqu'on peut additionner et

on peut agrandir une une fonction en la

multipliant par par un un nombre quoi

donc un vecteur faut penser c'est pas

uniquement les flèches c'est tout ce

qu'on peut additionner par exemple

prenez atts je vais prendre un exemple

encore plus bête prenez vous faites vos

courses et vous

achetez bah vous achetez des pommes vous

achetez des citrons et je sais pas quoi

des fraises voilà donc en fait on

pourrait dire que vous avez jeté par

quatre pommes plus tr

citrons plus 10 fraises hein donc ça

c'est c'est votre panier bah en fait

c'est un espace vectoriel quelque part

puisque on a des fruits différents et on

peut indiquer combien on en prend à

chaque fois donc en fait un panier c'est

un vecteur hein bon bon là là il a comme

comme il y a pas de notion géométrique

il y a pas de notion de déplacement la

flèche on s'en fiche hein et donc

euh donc par un panier égale un vecteur

quoi

voilà et donc il faut aussi un produit

scalaire alors le produit scalaire ça va

nous permettre

de de nous de spécifier ce qui est

pareil ou différent c'est

que si moi je voudrais dire que le la

fraise est

différente de la pomme et le et le

citron en fait donc on va

prendre si je fais

fraise produit

scalaire

citron pr produit on va noter comme ça

produit scalaire euh citron donc ça

c'est la notation de Dirac des

physiciens

euh donc ben en fait sont différents

donc pour les distinguer on va dire que

il y a zéro il y a aucune

ressemblance par contre si je prends euh

fraise avec

fraise fraise produit scalaire euh avec

fraise voilà on a euh donc fraise

produit scalaire avec fraise ah bah là

c'est exactement les mêmes donc on va

mettre euh

un donc voilà un peu un produit scalaire

donc vous voyez on est on n'est pas

obligé de de raisonner avec des flèches

ça peut être dire que si vous avez

appris la théorie des ensembles on peut

dire par exemple l'ensemble des fruits

et après on peit poser des questions

est-ce que par exemple une fraise ça

fait partie de l'ensemble des fruits ben

là la réponse ça va être oui ou non mais

en fait on a on a on n pas pe si je

prends une voiture est-ce que ça fait

partie de l'ensemble des fruits on va

dire non un citron est-ce que ça fait

partie de l'ensemble des fruits euh on

va dire ben oui et mais on peut pas dire

combien il y en a en fait donc les les

ensembles c'est sympa mais ça nous dit

juste ça encode juste la présence des

objets mais si on veut pas on peut noter

un panier de course ben là on est obligé

de passer aux espaces vectoriels et du

coup chaque chaque entité séparée qu'on

peut on va pouvoir les compter euh grâce

au facteur

qu'on met devant quoi donc là par un

panier donc je peux avoir un panier avec

juste un citron un citron c'est un

vecteur un panier avec trois citrons

quatre pommes et 10 fraises bah c'est un

vecteur aussi quelque

part et après on pourrait aussi

définir c'est-à-dire que ben là on met

les

quantité après on peut définir les les

formes linéaires enfin bon ça ça sera

peut-être pour une autre vidéo qui

correspondent non pas à la quantité mais

au prix au prix prix d'une pomme prix

d'un

citron enfin bref donc ça c'est les

espaces vectoriels et on a vu que le

produit scalaire nous permettait de de

rendre les les différentes donc c'est

des dimensions différentes sur

lesquelles on va pouvoir compter de

façon bien séparée et donc chaque

vecteurs de base là ce qu'on appelle les

les fraises les citrons les pommes ils

vont être orthogonau c'estd que ils ont

aucune ressemblance entre

orthogonaux voilà donc là ça fait zéro

donc si je regarde mon panier et

j'essaie de

faire le produit scalaire je veux savoir

est-ce qui ressemble avec les les pommes

par

exemple donc là qu'est-ce que je vais

trouver

j'ai trouvé que des pommes il va en

avoir

4

4 produit scalairire de de pomm avec les

pommes donc ça ça va

faire 4 pommes avec

pomm donc ça c'est le seul qui va

résister et quand je vais faire les

citrons avec les pommes je trouver zéro

et quand je vais faire le produit

scalaire des fraises des 10 fraises là

avec mes pommes il va me trouver zéro

donc il va rester 4 fois le produit

scalaire des pommes avec les pommes ça

fait un donc il reste 4 donc en gros en

prenant mon panier et en faisant le

produit scalaire avec les pommes il m'a

compté le nombre de pommes que j'avais

dans mon panier

voilà donc dès qu'on a un espace

vectoriel on va PIR

maintenant faire une algbre de

cliord alors l'algbre de cliord on va

donc on va avoir des vecteurs qui en de

dimensions de

dimensions on va avoir ux et

donc ça c'est nos vecteurs qui viennent

du de l'espace

vectoriel et on va définir deux nombres

symbolle qu'on va appeler par E x et

ey donc là maintenant on va être dans

l'algebre mais on va on va faire une

copie conforme de des vecteurs donc par

exemple si j'ai un vecteur 2 2

ux voilà + 1

uy hein si j'ai mon vecteur V

là et ben on va associer un nombre donc

un nombre qu'on va pouvoir additionner

multiplier qui va être carrément 2 x

plus ben 1

1Y voilà donc là on associe

vraiment on retrouve un miroir complet

de tous nos vecteurs donc là les

vecteurs vous pouvez peut-être les vous

avez peut-être appris à les noter en

colonne voilà donc vous avez votre

vecteur qui a une signification

géométrique hein on a fait deux

déplacements et un déplacement vers le

haut donc ça c'est V ça c'est X et

Y et maintenant on a des nombres nombres

alors qu'est-ce que c'est que c'est E x

c'est un peu comme les vous avez pris

dans on a pris dans les les vidéos

d'avant on avait on avait inventé des

des petits symboles par i dont le carré

valait -1 où on avait pris j donc carré

est égal à + 1 voilà c'était des mais en

fait c'était des des nombres ù Epsilon

au carré ég 0 donc là c'est la M le même

principe sauf que ben on les appelle E x

ou ey donc c'est des petits symboles et

va falloir expliquer qu'est-ce que c'est

que le carré

et comment on prend la comment on les

multiplie entre

eux alors il va falloir al le comment

définir cette algèbre comment définir

cette multiplication bah le but ça va

être que quand on fait le le produit

scalaire d'un

vecteur euh avec lui-même il faut qu'on

trouve la la même réponse en fait hein

donc par exemple si je prends mon

produit scalaire de de 2 1

voilà avec 2

1 donc ben ça fait euh 2 x

2 ça fait 4 4 + 1 5

voilà donc là j'ai pris mon produit

scalaire et et ben il faut que quand je

vais multiplier mon nombre équivalent à

ce vecteur il faut que je retrouve

pareil alors on va voir qu'est-ce qui se

passe on va mettre en ver voilà donc si

je fais donc mon nombre associé à V on a

dit que c'était 2 Z X +

ey donc au carré B ben on met les les

deux parenthèses côte à côte plus

ey voilà 2 x plus ey donc là je veux je

veux trouver le carré de mon

vecteur en le voyant comme un un

nombre donc bah 2x x

2x ça fait donc 4 e x multiplié par ex

donc j'ai pas encore dit ce que ça

faisait mais

euh on a dit qu'il fallait trouver la

même chose que que le produit scalaire

donc par si mon produit scalaire

ux comme c'est des vecteurs orthonormés

c'est-à-dire unitaire par exemple le

produit scalaire avec lui-même on doit

trouver

1 donc si j'ai dit que la multiplication

de l'équivalent en nombre on doit

trouver E x Carr on doit trouver 1 aussi

voilà ça c'est la la condition que

j'impose pour inventer la la

multiplication he donc ça E x x ex on

saura que ça fera ça fera 1 après on

continue donc on a fait 2x x 2x on va

faire 2x XY donc + 2 x x ey donc j'ai

pas encore défini mais c'est pas grave

on continue après il y a un ey x 2ex

alors on va faire très attention à

l'ordre parce que c'est pas des nombres

comme on a on a l'habitude si l'ordre

est très très important ça ch ça change

le résultat donc là c'est ey qui multip

ex donc c'est ey qui est devant ey x ex

voilà plus ey x ey donc ça fait

ey x ey donc là c'est des nombres je

manipule des nombre je suis en train de

chercher quelque part nous on sait qu'on

est en train de chercher le carré de de

l'équivalent de notre vecteur alors ex x

ex donc c'est ex car ça vaut 1 donc il

reste

4

plus

euh là donc ça ça fait 1 plus ey X Y

donc pareil ey son produit scalaire avec

lui-même ça va être 1

aussi donc là ça fait 1 donc 4 + 1

plus donc on a deux fois et là on va

regrouper donc on a E x ey mais j'ai dit

attention l'ordre est très important

donc on va on va recopier sans changer

l'ordre surtout

voilà et donc bah 4 + 1 ça fait

5 donc là 5 5 c'est c'est ce qu'on est

censé trouver si on définit bien notre

multiplication pas de chance on a ce ce

bidule là qui

traîne qu'on on a bien notre 5 mais on a

deux fois plus de fois BL donc ça ça

nous nous

embête et donc c'est justement ça qu'on

va prendre comme

règle pour définir notre

multiplication en gros on va on va dire

bah voudrait que ça disparaisse donc il

faut que ça ça fe 0 donc en gros il faut

que E

x

ey euh plus ey ex ça on aimerait bien

que ça fasse 0 donc on va prendre ça

comme

règle pour inventer notre multiplication

de vecteurs quoi donc euh ça veut dire

quoi ça veut dire que regardez si je

passe le y X de l'aut côté ça fait moins

e y E x ça veut dire que ma règle ça va

être ben j'ai le droit d'échanger

l'ordre c'est pour ça que l'ordre est

important parce que quand on change

l'ordre je ve mettre le y devant le X

j'ai un signe moins qui

apparaît

VO donc ça on dit que ça antiommute

antiommute ça veut dire que quand quand

ça commute c'est qu'on peut changer

l'ordre comme on veut là on peut changer

l'ordre mais à condition de mettre un

signe moins devant donc ça anti commmute

antiommute et donc ben pourquoi pourquoi

nimpose cette règle là quelque part bah

parce que du coup quand on va prendre

n'importe quel vecteur qu'on va regarder

son nombre associé dans l'algèbre de

Clifford bah il suffit de le mettre au

carré pour retrouver son son produit

scalaire en fait

voilà d'où vient d'où vient la règle

donc en gros il nous

faut donc il nous faut

définir il nous faut définir les carrés

des des vecteurs de base donc là ça va

être

1 on va

avoiry au Carr é=

1 si on a Z c'est pas grave on rajoute Z

car é= 1

donc ça c'est une première règle et

après

antiommute et on va voir que avec juste

ces règles là on peut quasiment tout

calculer quoi bah on peut tout calculer

en fait c'estàdire que si je prends si

j'ai E x e Z ben si je veux mettre le Z

devant il va me falloir mettre un signe

moins h moins e Z

x

voilà et ça cette règle elle est super

parce

que plus on va multiplier de nos objets

on a introduit des nouveaux

objets si je multiplie

[Musique]

X vous allez vous demander mais

qu'est-ce que c'est ça bah c'est un

nouvel objet on a l'objet on a l'objet y

et on peut l'appeler XY c'est quelque

chose de nouveau

mais on se dit oui mais à ce momentlà

plus je multiplie les objets de base E x

y je remultiplie parx ça va me donner

des objets nouveaux à chaque fois ben

non parce que là du coup on va pouvoir

appliquer notre petite règle

d'anticommunitation et ça va tout

bloquer c'est que le X je vais pouvoir

le le mettre

devant donc ça va faire Mo E x e x ey là

j'ai changé l'ordre entre le y et le X

donc j'ai récupéré un signe moins mais

du coup je me retrouve avec un ex so ex

mais ça on n pas le choix ex c'est E x

Carr ça vaut 1 donc le résultat c'est

ey donc en fait à partir de qu'on a à

partir du moment où on a mis E x y si on

remultiplie par ex ou qu'on remultiplie

Pary ça va pas créer des nouveaux objet

on va retomber sur des objets qu'on a

déjà donc en fait ça s'arrête il y a pas

une production de symbole à l'infini

qu'on va avoir les nombres normaux on va

voir les X les y les

xy et puis B si a de dimensions ça va

s'arrêter là donc là il y

aura l'algèbre elle ça seraut y avoir un

nombre ici un nombre ici un nombre ici

donc il y aura 4 dimension 4

dimension 4 ça dimension 4 c'est la

dimension de l'algebre qu'on vient

d'inventer à partir de de l'espace

vectoriel qui lu était de dimension 2 il

y avait l'axe des x l'axey donc ça c'est

l'algèbre l'algèbre il y a plus d'objets

il y a les nombres tout seuls ce qu'on

va appeler

lesescalaire il y a ce qui correspondait

à nos vecteurs et il y a des trucs en

plus qui sont des produits mais voà on

aura donné un nom mais et après il y a

plus rien donc pour là j'avais mis par

un Z

donc combien il y aura d'objets pour Z

donc on a E x

ey e Z donc là il raà

3 et on a les nombres tout

seuls tout les scalaires donc là il y en

a un après on va pouvoir multiplier les

les E x et les e y entre eux donc on va

avoir E

x y on va avoir X avec Z E x

Z on va avoir y avec

Z alors si on change les lettres il y a

il y a un signe moins qui apparaît donc

on va pas donner le nouveau nom donc en

fait on va pas avoir e yx puisque en

fait c'est pareil que moin e XY donc on

mettra un signe moins donc en fait là il

y en a que trois et on pourrait quand

même multiplier les trois ensemble donc

on va avoir E x y z ça c'est si on a

fait E x x ey x ez alors là on a créé un

nouvel un nouvel objet malheureusement

mais de ça s'arrête parce que si on

remultiplie par par si je

fais voilà si je remultiplie par e

y et ben ça fait euh ça ferait l'objet E

x e y e Z ey donc là on se dit oui mais

on va pouvoir changer de de sens ces

deux là par exemple ça va faire - E x ey

ey

ez alors ben ey car ça ça fait 1 ça

disparaît et il reste donc moin E

x Z et E x Z on connaissait déjà c'est

celui-là mais on a moins mais c'est

c'est le même voilà donc en fait une

fois qu'on a créé tous ces objets là et

ben même en les multipliant entre eux de

toutes les façons qu'on veut on créera

pas de nouvel objet quoi si je fais

euh alors donc là du coup ça fait une

dimension combien celle-là ça va faire

dimension donc bah 3 + 3 6 7 8 dimension

8 alors que l'espace vectoriel lui il

était de dimension 3 il y avait que

trois vecteurs euh là c'est si vous

voulez ce qui l'espace vectoriel c'était

u x uy UZ donc c'est un espace à trois

dimensions de géométrie et on a du coup

des objets nouveaux

X Y alors ça ça

vaésenter des quelque part les vecteurs

c'est c'est ça là ça va représenter des

plans des plans orientés et là le

dernier on l'appelle le pseudo

scalaire puisque il y a il va y avoir un

seul nombre

aussi voilà alors donc donc ça

c'est les objets qu'on va créer dans

dans l'algèbre et nousoublons pas qu'il

faut définir les vecteurs de

base il faut dire si le carré combien

vaut le carré x² x² voil ça on en a

besoin pareil ey²

= + 1 et E Z carré é= + 1 parce que on

va pouvoir donc ça c'est voilà pour une

géométrie spatiale mais on sait que il y

a la géométrie de l'espace et du temps

et donc on va pouvoir mettre

mettre on va pouvoir encoder ça va

marcher aussi avec la la

géométrie de de la relativité restreinte

c'estd que on va prendre on va prendre

par exemple e on va avoir un E pour le

temps un E x paremple un

ey donc là on aurait un espace

de ou Z on peut mettre aussi donc en

fait on va prendre la et c'est là qu'on

va pouvoir euh là que ça être important

d'encoder le carré puisqueen fait on va

mettre la métrique c'est qu'on va dire

que le le temps ça va être +

1 et tout ce qui est espace on va mettre

les

-1

1 ey²

= 1 et E Z car =

-1 et avec ça avec la petite règle

toujours et

x c'est pareil que Mo e XT c'est qu'à

chaque fois qu'on change l'ordre de nos

nombres on récupère un signe moin et ben

on va pouvoir tout calculer par on peut

calculer donc dans cet algb là on va

avoir des nombres du style

ETX alors je veux savoir quel est le

carré de

ETX et ben on met onécrit tout

ETX ETX

bon ETX en fait c'est le produit de et

avec E x et avec E

x donc on va changer l'ordre de ces deux

là ça va donner donc et

et E x e X et comme j'ai changé l'ordre

il me faut un signe moins que j'ai

oublié après on a et là on a no et car

et nos e x² donc moins donc et car

c'est là que c'est important de savoir

qu'est-ce que ça fait on peut pas le

deviner donc ça fait 1 et X ça

fait du coup on retrouve

1 et donc on sait que

ETX au car é= +

1 on peut faire on peut faire X

y au carré alors là qu'est-ce que ça va

donner ça va donner X Y de fois E x y on

met notre SIG moin on change l'ordre on

va changer ces deux là ça fait

eyy E x car

donc x² ça va faire

-1y² ça fait

donc il va rester - 1 donc e XY au carré

lui il fait

-1 donc en fait on peut quasiment tout

calculer comme si c'était un système de

nombre c'est pour ça que c'est une

algèbre donc ça c'est l'algèbre de

cliord de

l'espacet

algèbre de

cliord pour espace temps espace temps

alors comment on note ça on a vu qu'en

fait ce qui était important finalement

c'est le choix quels sont les carrés

est-ce qu'il valent + 1 ou -1 ou 0 donc

ça ça s'appelle la la signature de la

métrique donc en fait ce qui va vraiment

être important euh pour avoir des

algèbres de Clifford différent signature

de la

métrique

voil donc c'est le nombre de dimension

et si les les petits vecteurs de base

leur carré vaut 1

ou donc on

note

cord en premier on va noter le nombre

de+ 1 qu'on veut donc pour l'espacetemp

il y avait + 1 pour le temps et il y

avait - 1 - 1 1 pour l'espace X Y Z donc

on va noter que c'est l'algebre qu'on

invente à partir de ça c'est il y a un

élément positif et trois éléments

négatif donc ça c'est

espace-temps donc en dimension 1 + 3

quoi + 3

espace TR dimensions d'espace une

dimension de temps mais on peut inventer

plein d'autres donc c que que X Y Z don

on avait pris les Carr 1 on

l' donc là cette foisci on a TR éléments

positifs donc on écrit pas le

reste et en fait les les premières

algbres on a cl

10 c'est un élément possible ça va

correspondre à notre

jisque souvz j ça fait+ et fait prenant

juste élment car le

plus cé spit

complex les Complexon avait vu donc les

nombr associesacele

il y a aussi

euh du coup on prend 0 positif et on

prend un élément dont le carré vaut -1

bon bah ça c'est facile c'est le fameux

i I carré son son carré valit -1 donc

c'est les nombre complexe hein donc ici

en notation algèbre

on on dit que le on prend 0 éléments don

le carré vaut 1 et un élément don le

carré vaut mo-1 donc en fait le premier

son carré vaut voà donc ça c'est les

complexes et on peut noter donc c'est

moins courant mais euh

euh on peut noter euh

cl donc on prend 0 positif 0 négatif et

un qui vaut 0 donc ça c'était les

nombres Epsilon Epsilon Carr euh on dit

que ça fait

é0 donc ça marche aussi avec un carré

qui vaut zéro on peut faire une algè de

Clifford

avec voilà donc bon

le donc on a vu ça c'est les complexes

ah oui on peut aussi

dire si on prend

[Musique]

euh si on prend une algèbre de Clifford

formée de 0 éléments positifs et deux

éléments négatifs donc on a aurait par

exemple E x dans le carré vaudrait -1 et

ey dans le carré vaudrait

-1 et du coup on n pas le choix on

aurait un truc qui s'appelle e xy et on

peut se demander euh quel est son

carré donc e XY euh au carré donc c'est

E x ey E x e

y moins donc on échange de sens ça fait

E x au carré et y au carré 1- 1 ça fait

il reste plus que 1 c'est - 1 FO -1 ça

fait 1 et il reste le SIG moins de

départ donc on a aussi un élément qui

s'appelle e XY au carré etquivaut

-1 et en fait on peut montrer que ça

correspond à ce qu'on appelle les les

quaternion alors j'en ai pas parlé mais

euh les les quaternion euh quaternion

quaternion c'est une extension des

nombres complexes

euh avec

I J et

K et justement on a i² = -1 j²

1 et k car é=

1 donc ben ça correspond en fait à notre

algeèbre de CL 0 du Type 0 0 positif et

2

négatif que on identifie i avec X j avec

ey et k avec e

xy et on peut vérifier les les

conditions pour

l'quaternion ça correspond exactement on

dit que c'est isomorphe isomorphe au

quaternion donc

cl 02 et

isomorphe on voit déjà qu'avec une

simple construction d'algèbre comme ça à

partir espèce de on retrouve déjà pas

mal de systèmes de nombres qu'on avait

péniblement inventé en fait on les

retrouve tous sans sans aucun effort

donc c'est vraiment assez puissant

voilà donc deux deux simples règles

savoir combien vaut les carrés des

vecteurs de base à partir de là on peut

calculer tout le reste et puis ser se

rappeler juste que quand on échange donc

l'ordre est très important quand on fait

le calcul faut pas s'amuser à changer

l'ordre quand on veut changer l'ordre

entre deux

vecteurs de base euh et ben on fait on

met un signe moins devant voilà donc

dans les qu Ternion il y avait par

exemple quand on multiplie i euh i par J

on trouvait I J on trouvait le fait la

règle des trois droits on trouvait k

hein donc ça c'est une des règles des

quaternion voahà si on fait euh

l'équivalent ça serait donc E x euh et j

c'est celui qui correspond à ey et ben

on trouve e XY ah ben c'est celui qui

correspond à

K hein donc vous pouvez vérifier euh si

vous connaissez les les les règles des

quaternons ben c'est exactement la même

chose

voilà alors les les algèbres de Clifford

donc on ça sert en physique on a vu pour

euh les leséquation de Dirac c'est les

fameuses matrices gamma gamma 1 gamma 2

qui permet d'écrire l'équation Dirac en

fait les les gamas c'est c'est des

éléments de de la gè de cliorne ça sert

euh pour parce que quand on va étudier

ces systèmes de nombres on va retrouver

le le groupe des spinners il va

apparaître directement et donc ben on va

pouvoir encoder les rotations grâce à

ces systèmes de nom et faire des calcul

euh pour faire des rotations ou pour

encoder des des des spins

pour donc c'est un un peu plus

sophistiqué que les rotations mais il il

va contenir tout tout ce qui va être

utile en géométrie en fait donc bah

c'est pour ça que je voulais présenter

les algeèbres de Clifford et après le

but ça sera

d'étudier en fonction des des dimensions

du nombre de du choix combien de

positifs je mets combien de négatifs je

mets euh il y aura des structures qui

vont apparaître tout comme on avait déjà

vu que dans la dans la structure des

nombres de l'espace-temp les les split

complexes on avait vu qu'en fait c'était

deux un assemblage de deux de nom séparé

qui fonctionna en parallèle donc à

chaque fois on va découvrir des des

petites structures un peu surprenantes

et mais là ça sera l'objet d'une autre

vidéo allez à la prochaine fois